Never ending story

Ecco un simpatico esercizio di analisi (dal Prodi):

\lim_{x\to1}{\frac{\log_{x} 2}{x-1}} = ?

usiamo la testa, abbiamo:

  • \lim_{x\to1}{x-1} al denominatore, che  quindi tende a 0 ; e  se x\rightarrow 1^+ allora \frac{1}{x-1} \rightarrow +\infty
  • \lim_{x\to1}{\log_{x} 2 \rightarrow +\infty \: \text{se} \: x \rightarrow 1^+}

Quindi in conclusione il risultato del nostro limite per x \rightarrow 1^+ è +\infty Adesso il caso per x \rightarrow 1^-, abbiamo:

  • \lim_{x\to1^-}{x-1} al denominatore, che tende a 0^- ; quindi \frac{1}{x-1} \rightarrow -\infty
  • \lim_{x\to1^-}{\log_{x} 2 \rightarrow -\infty } , questo osservando che \log_{\frac{1}{2}}2 = -1 e dato che \log_{x}2  non può avere intersezioni con l’asse x (infatti, se così fosse, \log_{x}2 avrebbe una radice, ovvero esiste un numero reale che elevato alla 0 farebbe 2; chiaramente impossibile).

Quindi anche in questo caso, meno per meno fa più, riabbiamo +\infty Ora, mettiamo il caso di non voler usare la testa, o di voler verificare stupidamente questo limite in modo tecnologico diciamo. Sull’iPhone un app per disegnare grafici, ma disegna solo  log in  base 10, e o 2.
Accendiamo allora il computer, usiamo Grapher, un gran bel programmino che mi ha sempre disegnato qualsiasi cosa, anche 3D volendo… ma: Errore! Argomento non valido. Il programma non sa interpretare l’input di log in base x.
A questo punto Wolfram|Alpha (di cui avevamo già parlato in un post qui), ma niente: il super computer non sa nemmeno lui interpretare questa forma.
Eppure era una cosa così semplice, ma la funzione \log_{x}2 non ve la sa fare proprio nessuno, tranne voi usando un po’ il cervello.
Altro che versioni di latino eh… 🙂

Ps: che dire allora di \log_{x}x o di {\log_{x}x}^{\log_{x}2} ?

Perché la matematica è una storia che non finisce mai…

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3 Responses to “Never ending story”


  1. 1 Giovanni 7 aprile, 2010 alle 11:05 am

    Ti ricordo che $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, dunque $\log_x 2 = \frac{\ln 2}{\ln x}$. In effetti, la maggior parte dei sistemi CAS che io abbia mai visto (incluse praticamente tutte le calcolatrici grafiche) permettono solo di calcolare logaritmi neperiani o decimali.

  2. 2 Agnese 20 aprile, 2010 alle 7:16 pm

    Gibby caro, non facessi io Ingegneria Edile Architettura e non avessi abbastanza da pensare a come si disegna un cilindro sollevato di una certa altezza da un piano generico, assegnatane la proiezione in vera grandezza e le ombre delle basi del detto cilindro sul piano comunque inclinato, con raggio luminoso a 30° ti darei una mano.

    Tanto per giocare a chi scrive roba più noiosa, che poi l’altro si ferma alla prima riga e poi sorride e finge d’averlo letto tutto 🙂

    E almeno otto prospetti della Falling Water *_*

  3. 3 Agna 6 maggio, 2010 alle 3:24 pm

    Non basta cambiare base al logaritmo? O.o

    1) log_x 2 = (ln 2)/ln x

    2) Se il logaritmo in base x di x è l’esponente da dare a x tale che sia uguale a x, bene, questo è 1 per ogni x.

    3) Per quanto detto in 1) e in 2), l’ultima espressione è analoga alla prima.

    Sì, comunque pensavo ad acquisti, ma rimango nell’indecisione. Il fatto è che ci è rimasto solo il portatile e ci serve un nuovo fisso – però volevamo tenerci il vecchio schermo, la vecchia tastiera e tutte le apparecchiature antiche Windows u.u


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